Занимался педагогической деятельностью, принимал участие в русских любительских спектаклях. С 1881 года в Тифлисской грузинской драматической труппе. В 1887‒1890 и 1906-1910 годах играл в русских театрах, в том числе в Московском Художественном театре (1906-1907). В 1890-1896 и в 1910-1914 годах руководитель Тифлисского драматического театра, 1897-1906 годах - руководитель Кутаисского драматического театра. С 1890 года занимался режиссёрской деятельностью. В 1916-1918 снялся в нескольких кинофильмах («Отцы и дети», «Бог мести» и других).
Активно поддерживал революцию 1905-1907 годов. Поставил несколько спектаклей, содержащих идеи борьбы против социальной несправедливости («Кай Гракх» В. Монти, «Ткачи» Г. Гауптмана и другие), исполнил в них главные роли. Читал революционные стихи на митингах, участвовал в боях на баррикадах.
Как отмечает Театральная энциклопедия, «яркая эмоциональность сочеталась в игре Алекси-Месхишвили с реалистической разработкой, глубоким анализом ролей». Среди сыгранных ролей множество глубоко драматических и трагедийных образов: Леван Химшиашвили («Родина» Эристави), Гоча («Коварная Тамара» Церетели), Гайоз Пагава («Брат и сестра» Гуния), Юсов («Доходное место»), Незнамов («Без вины виноватые» Островского), Расплюев («Свадьба Кречинского»), Франц Моор («Разбойники» Шекспира), Гамлет (одноименная трагедия Шекспира), Отелло (одноименная трагедия Шекспира), Эдгар («Король Лир»), Кай Гракх (одноимённая пьеса Монти), Уриэль Акоста (одноимённая пьеса Гуцкова), Тартюф (одноимённая пьеса Мольера). Выступал с чтением «Записок сумасшедшего» Гоголя. Алекси-Месхишвили первым среди грузинских театральных режиссёров поставил вопрос о значении ансамбля. Среди его учеников множество видных театральных деятелей Грузии.